En Londres

10 de agosto de 1881

Querido Mohr,

Ayer encontré por fin el valor para estudiar tus manuscritos matemáticos incluso sin libros de consulta, y me alegró comprobar que no los necesitaba. Te felicito por tu trabajo. La cosa es clara como la luz del día, de modo que no podemos asombrarnos lo bastante de la manera en que los matemáticos se empeñan en mistificarla. Pero esto proviene del modo unilateral de pensar de estos señores. Plantear dy/dx = 0/0, firme y categóricamente, no les entra en el cráneo. Y sin embargo, está claro que dy/dx sólo puede ser la expresión pura de un proceso consumado si ha desaparecido el último rastro de los quanta x e y, dejando la expresión del proceso precedente de su cambio sin cantidad alguna.

No tienes que temer que ningún matemático te haya precedido aquí. Esta clase de diferenciación es en verdad mucho más simple que todas las demás, tanto que justo ahora la he aplicado yo mismo para derivar una fórmula que había perdido de repente, confirmándola después por la vía usual. El procedimiento debe de haber causado la mayor sensación, especialmente porque, como queda claramente probado, el método usual de despreciar dxdy, etc., es positivamente falso. Y ésa es la especial belleza de la cosa: sólo si dy/dx = 0/0 es la operación matemática absolutamente correcta.

Así que el viejo Hegel adivinó con toda razón cuando dijo que la diferenciación tenía como condición básica que las variables debían estar elevadas a distintas potencias, y al menos una de ellas al menos a la segunda, o a la potencia ½. Ahora también sabemos por qué.

Si decimos que en y = f(x) la x y la y son variables, entonces esta afirmación no tiene consecuencias ulteriores, mientras no avancemos, y la x y la y siguen siendo, pro tempore, de hecho constantes. Sólo cuando cambian realmente, es decir, dentro de la función, se convierten efectivamente en variables, y sólo entonces puede revelarse la relación aún oculta en la ecuación originaria — no la relación de las dos magnitudes, sino la de su variabilidad. La primera derivada Δy/Δx muestra esta relación tal como ocurre en el curso del cambio real, es decir, en cada cambio dado; la derivada consumada — dy/dx la muestra en su generalidad, pura, y por tanto podemos pasar de dy/dx a cada Δy/Δx, mientras que esta última sólo cubre el caso especial. Sin embargo, para pasar del caso especial a la relación general, el caso especial debe ser abolido (aufgehoben) como tal. Por consiguiente, después de que la función haya atravesado el proceso de x a x' con todas sus consecuencias, se puede permitir tranquilamente que x' se convierta de nuevo en x; ya no es la vieja x, que era variable sólo de nombre; ha pasado por un cambio real, y el resultado del cambio permanece, aunque de nuevo lo abolimos (aufheben).

Por fin vemos claramente lo que los matemáticos han sostenido durante mucho tiempo, sin ser capaces de presentar fundamentos racionales: que el cociente diferencial es lo originario, los diferenciales dx y dy son lo derivado: la derivación de las fórmulas exige que ambos factores, llamados irracionales, estén al mismo tiempo en un lado de la ecuación, y sólo si pones la ecuación de nuevo en esta su primera forma dy/dx = f'(x), como puedes ver, te libras de los irracionales y tienes en su lugar su expresión racional.

La cosa se ha apoderado de mí de tal modo que no sólo me da vueltas en la cabeza todo el día, sino que la semana pasada en un sueño le di a un tipo los botones de mi camisa para diferenciar, y él salió corriendo con ellos.

Tuyo

F. E.

Manuscritos Matemáticos de Marx | Cartas sobre Ciencia y Matemáticas

Obras de 1881