Cuando decimos que y = f( x) , x e y son variables; esto representa, mientras nos mantenemos en ello, una afirmación sin ninguna de las consecuencias ulteriores, y x e y seguirán siendo siempre, pro tem porea una constante de hecho y solamente cuando varíe realmente, es decir, dentro de la función podremos considerarla en realidad como variable, y sólo entonces puede ser la relación oculta entre dos magnitudes como tales y manifestar y poner de relieve su variabilidad. La primera derivada da — pone de relieve esta relación tal y como se presenta en el curso del Ax cambio real, es decir en todo . dado; la derivada final = —dv muescambio dx tra la cosa, en su generalidad, de un modo puro; por consiguiente, pardy . . Ay . tiendo de — , podemos llegar a cualquier —> mientras que esto mismo dx _ sólo encubre el caso individual. Ahora bien, para pasar del caso individual a la relación general, es necesario que el caso individual se presente como eliminado en cuanto tal. Por tanto, una vez que la función haya pasado por el proceso de x a x \ con todas sus consecuencias, podemos tranquilamente volver a convertir x’ en x; ya no se trata de la vieja x variable sólo en cuanto al número, sino que ha sufrido un cambio real, y el resultado de este cambio permanece, por más que nosotros lo hayamos eliminado. Por último, se ve aquí claro lo que tantos matemáticos vienen afirmando desde hace largo tiempo sin poder indicar el fundamento racional de ello, a saber: que el cociente diferencial es lo originario y la diferencial de dx y dy son lo derivado; así lo exige la derivación de la fórmula misma, puesto que los dos llamados factores irracionales representan originariamente uno de los lados de la ecuación, y sólo cuando se dy retrotrae la ecuación a esta su primera forma —- = f( x ), podemos hacer dx algo; con ello, nos desprendemos de lo irracional, reteniendo a cambio la expresión racional.

La cosa me ha cautivado tanto, que todo el día me ha dado vueltas en la cabeza y, además, la noche pasada, en sueños, un individuo aparecía tirándome de los botones de la camisa para diferenciar, obsesionándome con ello. Tuyo F. E.

a Provisionalmente.

ENGELS A MARX (Ventnor)

Londres, 21 noviembre] [18] 82 [ ...] Te incluyo un ensayo matemático de Moore. El final, en que the algebraic method is only the difierential method di$guiseda sólo se refiere, naturalmente, a su propio método de construcción geométrica, y en este terreno es acertado. Le he escrito que tú no das importancia alguna al modo como uno se representa las cosas en la construcción geométrica, puesto que basta con aplicar las curvas a las ecuaciones. Además, la diferencia fundamental entre tu método y el viejo método está en que tú conviertes a x en x", es decir introduces una variante real, mientras que los otros parten de x + h lo que representa siempre una suma de dos magnitudes, pero nunca la variación de una magnitud. Por eso tu x, aunque sea cruzada por x9 y se convierta de nuevo en la primera x, es sin embargo otra de lo que era antes; mientras que si a x añadimos h y luego la deducimos, x seguirá siendo todo el tiempo constante. Ahora bien, toda representación gráfica de la variación constituye necesariamente la representación del proceso anterior del resultado y, por tanto, de una magnitud convertida en constante, la línea x, su adición se representa también como x + h, dos trozos de una línea. De donde se deduce ya que una representación gráfica del cambio de x en xf y nuevamente en x resulta imposible [ ...]

MARX A ENGELS (Londres)

22 noviembre] [18] 82 [ ...] Sam,a como enseguida pudiste ver, critica el método empleado por mí, dejándolo tranquilamente a un lado para utilizar en vez de él el método geométrico, de que aún no he dicho una palabra. Del mismo modo podría yo exponer el desarrollo del método llamado propiamente diferencial comenzando por el método místico de Newton y Leibniz y pasando luego al método racionalista de d'Alembert y Euler, a El método algebraico es solamente el método diferencial disfrazado. a Samuel Moore. para terminar por el método rigurosamente algebraico (pero partiendo siempre de la misma fundamental concepción originaria de NewtonLeibniz) de Lagrange; y podría acallar este desarrollo totalmente histórico del análisis sin hacer variar prácticamente nada en esencia del empleo geométrico del cálculo diferencial; es decir, [manteniéndome] en la representación geométrica.

Como el sol empieza a apuntar y, por tanto, ha llegado el momento de pasear, no seguiré aquí más adelante, por ahora, en torno a las cosas matemáticas, pero más tarde volveré en detalle sobre los diferentes métodos [ ...] ENGELS A MARX (Ventnor)

Londres, 19 dicfiembre] 1882 [ ...] M e represento del siguiente modo la historia de Podolinski. Su verdadero descubrimiento es el de que el trabajo humano es capaz de retener y hacer actuar la energía solar en la superficie de la tierra más largo tiempo de lo que sin ello ocurriría. Todas las conclusiones económicas que de esto saca son falsas. N o tengo el artículo a mano, pero lo he leído recientemente en italiano, en la Plebe. M e represento así el punto litigioso, a saber: ¿Cómo la cantidad de energía dada en un determinado volumen de medios nutritivos puede engendrar mediante el trabajo un volumen de energía mayor? Supongamos que los medios de vida que un hombre necesita diariamente representen un volumen de energía expresado en 10 000 U C (unidades calóricas); estas 10000 U C permanecerán eternamente = 10 000 U C y, en la práctica, al transformarse en otras formas de energía, perderán, como sabemos, por el frotamiento, etc., una parte, que resultará inútil. En el cuerpo humano, incluso de un modo importante. Por tanto, el trabajo físico rendido por el trabajo económico no podrá ser nunca = 10 000 U C , sino que siempre será menor. Pero el trabajo físico no es por ello, ni mucho menos, trabajo económico. E l trabajo económico rendido por las 10 000 U C no consiste, ni de eso se trata, en la reproducción de estas mismas 10 000 U C , total o parcialmente, en esta o en otra forma. Por el contrario, éstas en su mayor parte se pierden en el calor incrementado y radiado de los cuerpos, etc., y lo que permanece utilizable es la capacidad de abono de los excrementos. El trabajo económico que un hombre rinde mediante el empleo de estas 10 000 U C consiste más bien en fijar durante más o menos tiempo nuevamente las U C radiadas a ellas por el sol, que, con las primeras 10 000 U C , conservan solamente esta cohesión del trabajo.